Mathematik & Rechnen

Unsere Sammlung von 18 Mathematik-Rechnern bietet Ihnen professionelle Tools für alle wichtigen mathematischen Berechnungen. Von grundlegenden Rechenarten über Prozentrechnung bis hin zu komplexen geometrischen Formeln – alle Rechner basieren auf bewährten mathematischen Prinzipien und liefern sofortige, präzise Ergebnisse.

Hauptkategorien unserer Mathematik-Tools:

• Grundrechenarten & Prozent: Prozentrechner, Dreisatz, Durchschnitt, Verhältnisrechnung
• Bruch- & Potenzrechnung: Bruchrechner, Potenzrechner, Quadratwurzel, Logarithmus
• Geometrie: Pythagoras, Flächen, Volumen, geometrische Formeln
• Zahlentheorie: Primfaktorzerlegung, Fibonacci, Fakultät, ggT und kgV
• Statistik: Median, Durchschnitt, Standardabweichung
• Spezialrechner: Quersumme, Zufallszahlen, mathematische Konstanten

Alle Rechner sind kostenlos nutzbar, erfordern keine Registrierung und liefern sofortige Ergebnisse mit Schritt-für-Schritt-Erklärungen. Perfekt für Schüler, Studenten, Lehrer und alle, die täglich mit Zahlen arbeiten.

Prozentrechnung ist eine der am häufigsten genutzten mathematischen Operationen im Alltag. Die drei grundlegenden Fragen der Prozentrechnung:

1. Prozentwert berechnen: "Wie viel sind X% von Y?"
Formel: Prozentwert = (Prozentsatz × Grundwert) ÷ 100
Beispiel: 19% von 150€ = (19 × 150) ÷ 100 = 28,50€

2. Prozentsatz berechnen: "Wie viel Prozent sind X von Y?"
Formel: Prozentsatz = (Prozentwert ÷ Grundwert) × 100
Beispiel: 30 von 120 = (30 ÷ 120) × 100 = 25%

3. Grundwert berechnen: "X sind Y%, wie viel sind 100%?"
Formel: Grundwert = (Prozentwert × 100) ÷ Prozentsatz
Beispiel: 45€ sind 15%, Grundwert = (45 × 100) ÷ 15 = 300€

Prozentuale Veränderung berechnen:

• Zunahme: Neuer Wert = Alter Wert × (1 + Prozentsatz/100)
• Abnahme: Neuer Wert = Alter Wert × (1 - Prozentsatz/100)
• Veränderung in %: ((Neuer Wert - Alter Wert) ÷ Alter Wert) × 100

Häufige Anwendungen: Rabattberechnungen (20% Rabatt auf 80€ = 64€), Mehrwertsteuer (MwSt. 19% auf 100€ Netto = 119€ Brutto), Zinsen, Gehaltserhöhungen, prozentuale Änderungen (Aktienkurse, Statistiken).

Der Dreisatz ist eine bewährte Rechenmethode für proportionale Zusammenhänge. Es gibt zwei Arten:

Proportionaler Dreisatz (Je mehr, desto mehr):

Frage: "Wenn 3 kg Äpfel 4,50€ kosten, wie viel kosten 5 kg?"

1. Schritt 1: 3 kg → 4,50€ (gegeben)
2. Schritt 2: 1 kg → 4,50€ ÷ 3 = 1,50€ (Einheitswert)
3. Schritt 3: 5 kg → 1,50€ × 5 = 7,50€ (gesuchter Wert)

Antiproportionaler Dreisatz (Je mehr, desto weniger):

Frage: "Wenn 4 Arbeiter 6 Tage brauchen, wie lange brauchen 6 Arbeiter?"

1. Schritt 1: 4 Arbeiter → 6 Tage (gegeben)
2. Schritt 2: 1 Arbeiter → 6 × 4 = 24 Tage (gesamte Arbeit)
3. Schritt 3: 6 Arbeiter → 24 ÷ 6 = 4 Tage (gesuchter Wert)

Wann verwende ich welchen Dreisatz?

• Proportional: Preis-Menge, Geschwindigkeit-Strecke, Verbrauch-Zeit
• Antiproportional: Arbeiter-Zeit, Geschwindigkeit-Zeit, Größe-Anzahl

Merkhilfe: Bei proportionalen Zuordnungen steigen oder fallen beide Werte gemeinsam. Bei antiproportionalen Zuordnungen bewegt sich ein Wert entgegengesetzt zum anderen (mehr Arbeiter = weniger Zeit).

Bruchrechnung ist fundamental für höhere Mathematik. Die wichtigsten Operationen:

Brüche kürzen und erweitern:

• Kürzen: Zähler und Nenner durch gemeinsamen Teiler dividieren
  Beispiel: 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3
• Erweitern: Zähler und Nenner mit gleicher Zahl multiplizieren
  Beispiel: 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12

Addition und Subtraktion:
Brüche müssen gleichnamig sein (gleicher Nenner):

• 1/4 + 1/6 → Hauptnenner finden (12) → 3/12 + 2/12 = 5/12
• Formel: a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d)

Multiplikation:
Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren:

• 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15
• Vor dem Multiplizieren kürzen spart Arbeit!

Division:
Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren:

• 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
• Merksatz: "Teilen durch einen Bruch = Malnehmen mit dem Kehrwert"

Dezimalbruch-Umrechnung:

• 1/2 = 0,5 | 1/4 = 0,25 | 1/3 = 0,333... | 2/5 = 0,4
• Dezimalzahl in Bruch: 0,75 = 75/100 = 3/4 (gekürzt)

Satz des Pythagoras (nur für rechtwinklige Dreiecke):

Formel: a² + b² = c²
wobei c die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) ist.

Anwendungen:

• Kathete berechnen: a = √(c² - b²)
• Hypotenuse berechnen: c = √(a² + b²)
• Beispiel: a=3cm, b=4cm → c = √(9+16) = √25 = 5cm

Wichtige Flächenformeln:

• Rechteck: A = Länge × Breite
• Quadrat: A = Seitenlänge²
• Dreieck: A = (Grundseite × Höhe) ÷ 2
• Kreis: A = π × Radius² (π ≈ 3,14159)
• Trapez: A = ((a + c) × h) ÷ 2

Wichtige Volumenformeln:

• Würfel: V = Kantenlänge³
• Quader: V = Länge × Breite × Höhe
• Zylinder: V = π × Radius² × Höhe
• Kugel: V = (4/3) × π × Radius³
• Pyramide: V = (Grundfläche × Höhe) ÷ 3

Umfang-Formeln:

• Kreis: U = 2 × π × Radius = π × Durchmesser
• Rechteck: U = 2 × (Länge + Breite)
• Quadrat: U = 4 × Seitenlänge

Durchschnittsberechnungen:

• Arithmetisches Mittel: Summe aller Werte ÷ Anzahl der Werte
  Beispiel: Notendurchschnitt (2, 3, 1, 2) = (2+3+1+2) ÷ 4 = 2,0
• Gewichteter Durchschnitt: Bei unterschiedlicher Gewichtung
  Beispiel: Klausur 60%, Test 40% → (1×0,6) + (2×0,4) = 1,4
• Median: Mittlerer Wert einer sortierten Liste (robust gegen Ausreißer)

Zinsrechnung (Finanzmathematik):

• Einfache Zinsen: Z = (Kapital × Zinssatz × Zeit) ÷ 100
• Zinseszins: Endkapital = Anfangskapital × (1 + Zinssatz/100)^Jahre
• Beispiel: 1.000€ bei 3% für 5 Jahre → 1.000 × 1,03^5 = 1.159,27€

Verhältnis und Proportion:

• Verhältnis berechnen: a:b = a/b (z.B. 4:2 = 2:1)
• Proportion prüfen: a:b = c:d wenn a×d = b×c
• Maßstab: 1:50.000 bedeutet 1cm auf Karte = 50.000cm = 500m in Realität

Potenzen und Wurzeln:

• Potenzgesetze: a^m × a^n = a^(m+n) | (a^m)^n = a^(m×n)
• Quadratwurzel: √16 = 4 (weil 4² = 16)
• n-te Wurzel: ³√8 = 2 (weil 2³ = 8)

Logarithmus:

• Definition: log_b(a) = x bedeutet b^x = a
• Beispiel: log_10(100) = 2 (weil 10² = 100)
• Natürlicher Logarithmus: ln(e) = 1 (e ≈ 2,71828)

Praktische Tipps:

• Bei Prozentrechnung immer klären: Was ist der Grundwert (100%)?
• Einheiten mitführen und am Ende prüfen
• Plausibilitätscheck: Ist das Ergebnis realistisch?
• Komplexe Aufgaben in Teilschritte zerlegen